मिश्रण और एलिगेशन (Mixture & Alligation) के टॉप शॉर्टकट ट्रिक्स और हल उदाहरण

मिश्रण और एलिगेशन: अवधारणा और परीक्षा में महत्व

प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे SSC CGL, CHSL, RRB NTPC, IBPS PO, SBI Clerk और UPSC CSAT के क्वांटिटेटिव एप्टीट्यूड (Quantitative Aptitude) खंड में मिश्रण और एलिगेशन (Mixture and Alligation) एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। वास्तव में, एलिगेशन कोई अलग गणितीय सिद्धांत नहीं है, बल्कि यह भारित औसत (Weighted Average) को हल करने की एक बेहद तीव्र दृश्य विधि (Visual Shortcut Technique) है।

यदि किसी प्रश्न को पारंपरिक बीजगणितीय समीकरण (Algebraic Equation) से हल किया जाए, तो उसमें 2 से 3 मिनट का समय लग सकता है, जबकि रूल ऑफ एलिगेशन (Cross Method) की सहायता से वही प्रश्न मात्र 15 से 20 सेकंड में सटीकता से हल हो जाता है। एलिगेशन का प्रयोग न केवल तरल पदार्थों के मिश्रण में होता है, बल्कि लाभ-हानि, साधारण ब्याज, औसत, प्रतिशत और गति-दूरी के प्रश्नों में भी धड़ल्ले से किया जाता है।

एलिगेशन का मूल नियम (The Rule of Alligation) और कार्यप्रणाली

जब दो भिन्न मूल्यों, दरों या सांद्रता (Concentration) वाली वस्तुओं को मिलाकर एक मध्यवर्ती (औसत) मान का नया मिश्रण तैयार किया जाता है, तब एलिगेशन नियम का उपयोग दोनों के अनुपात को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

एलिगेशन का सूत्र:
(सस्ती वस्तु की मात्रा) / (महंगी वस्तु की मात्रा) = (महंगी वस्तु का भाव - औसत भाव) / (औसत भाव - सस्ती वस्तु का भाव)
अर्थात: Quantity of Cheaper / Quantity of Dearer = (Dearer Price - Mean Price) / (Mean Price - Cheaper Price)

एलिगेशन क्रॉस डायग्राम (Cross Method Representation)

एलिगेशन को व्यवस्थित करने का मानक प्रारूप निम्नलिखित है:

• बाईं ओर: सस्ती वस्तु का मान (Cheaper Value, C)
• दायीं ओर: महंगी वस्तु का मान (Dearer Value, D)
• मध्य में: दोनों का मिश्रण/औसत मान (Mean Value, M), जहाँ C < M < D
• तिर्यक अंतर (Cross Difference): D - M और M - C
• परिणामी अनुपात = (D - M) : (M - C)

सबसे महत्वपूर्ण नियम: संदर्भ आधार (Base of Alligation)

एलिगेशन लगाने के बाद नीचे जो अनुपात प्राप्त होता है, वह हमेशा उस इकाई का होता है जिसके सापेक्ष दर परिभाषित होती है:

• प्रतिशत लाभ/हानि (Profit/Loss %): लाभ या हानि हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर निकलती है, अतः परिणामी अनुपात क्रय मूल्य का होगा।
• चाल (Speed = Dist/Time): चाल समय के सापेक्ष होती है, अतः परिणामी अनुपात समय (Time) का होगा।
• ब्याज दर (Rate of Interest): ब्याज मूलधन पर मिलता है, अतः परिणामी अनुपात मूलधन (Principal) का होगा।
• प्रति किलोग्राम मूल्य (Price per kg): दर वजन के सापेक्ष होती है, अतः परिणामी अनुपात मात्रा (Quantity/Weight) का होगा।

Trick 1: दो बर्तनों के सांद्रण मिश्रण को मिलाना (Vessel Mixing Shortcut)

जब दो बर्तनों में दूध और पानी या एसिड और पानी का अनुपात दिया हो और उन्हें मिलाकर एक नया अनुपात प्राप्त करना हो, तो किसी एक घटक (दूध या पानी) का भिन्न (Fraction) या प्रतिशत लेकर एलिगेशन लगाया जाता है।

हल किया गया उदाहरण 1:

प्रश्न: एक बर्तन A में दूध और पानी का अनुपात 4:1 है तथा बर्तन B में यह अनुपात 2:3 है। दोनों बर्तनों से किस अनुपात में मिश्रण निकाला जाए कि नए मिश्रण में दूध और पानी आधा-आधा (1:1) हो जाए?

चरणबद्ध हल:

1. हम पूरे प्रश्न को केवल दूध के अनुपात पर हल करेंगे।
2. बर्तन A में दूध का भाग = 4 / (4 + 1) = 4/5
3. बर्तन B में दूध का भाग = 2 / (2 + 3) = 2/5
4. मिश्रण में अभीष्ट दूध का भाग = 1 / (1 + 1) = 1/2
5. हर (Denominator) 5, 5, और 2 का ल.स.प. (LCM) = 10 है। गणना आसान करने के लिए सभी को 10 से गुणा करें:
   - A में दूध = (4/5) × 10 = 8
   - B में दूध = (2/5) × 10 = 4
   - मध्य मान = (1/2) × 10 = 5
6. एलिगेशन क्रॉस लगाएं:
   - B का तिर्यक अंतर = |4 - 5| = 1
   - A का तिर्यक अंतर = |8 - 5| = 3
7. उत्तर: बर्तन A और B को 1 : 3 के अनुपात में मिलाना होगा।

हल किया गया उदाहरण 2:

प्रश्न: ₹40 प्रति किग्रा वाले चावल को ₹65 प्रति किग्रा वाले चावल के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹55 प्रति किग्रा हो जाए?

चरणबद्ध हल:

1. सस्ता चावल (C) = 40, महंगा चावल (D) = 65, औसत मूल्य (M) = 55
2. महंगे का अंतर = 65 - 55 = 10
3. सस्ते का अंतर = 55 - 40 = 15
4. अनुपात = 10 : 15 = 2 : 3
5. उत्तर: दोनों प्रकार के चावल 2 : 3 के अनुपात में मिलाए जाने चाहिए।

Trick 2: बार-बार प्रतिस्थापन की ट्रिक (Removal and Replacement Formula)

यह SSC और बैंक परीक्षाओं का सबसे पसंदीदा पैटर्न है, जहाँ किसी शुद्ध द्रव (जैसे दूध या शराब) से कुछ लीटर निकालकर उतना ही पानी मिला दिया जाता है और यह प्रक्रिया 'n' बार दोहराई जाती है।

प्रतिस्थापन सूत्र (Successive Replacement Formula):
प्रक्रिया के बाद मूल द्रव की शेष मात्रा = x × [1 - (y / x)]ⁿ
जहाँ:
x = बर्तन की कुल प्रारंभिक क्षमता (Total Initial Quantity)
y = प्रत्येक बार निकाली और बदली गई मात्रा (Quantity drawn out)
n = प्रक्रिया दोहराने की कुल संख्या (Number of operations)

हल किया गया उदाहरण 1:

प्रश्न: एक पीपे में 80 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी भर दिया गया। इस प्रक्रिया को 2 बार और दोहराया गया। अब पीपे में कितना दूध शेष है?

चरणबद्ध हल:

1. प्रारंभिक मात्रा (x) = 80 लीटर
2. निकाली गई मात्रा (y) = 8 लीटर
3. प्रक्रिया की कुल संख्या (n) = 1 (पहली बार) + 2 (और बार) = 3 बार
4. शेष दूध = 80 × [1 - (8 / 80)]³
   = 80 × [1 - (1 / 10)]³
   = 80 × (9 / 10)³
   = 80 × (729 / 1000)
   = 58.32 लीटर
5. उत्तर: पीपे में अब 58.32 लीटर दूध शेष है।

हल किया गया उदाहरण 2 (उलटा प्रश्न - Reverse Ratio Method):

प्रश्न: एक बर्तन शुद्ध वाइन से भरा है। 10 लीटर वाइन निकालकर पानी भर दिया गया। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई गई। अब बर्तन में वाइन और पानी का अनुपात 16 : 9 है। बर्तन की कुल क्षमता ज्ञात कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. अंतिम वाइन / कुल मिश्रण = 16 / (16 + 9) = 16/25
2. सूत्रानुसार: [1 - (y / x)]ⁿ = अंतिम वाइन / प्रारंभिक मात्रा
3. यहाँ n = 2 और y = 10 है।
   अतः [1 - (10 / x)]² = 16/25
4. दोनों पक्षों का वर्गमूल (Square Root) लेने पर:
   1 - (10 / x) = 4/5
5. 10 / x = 1 - 4/5 = 1/5
6. x = 10 × 5 = 50 लीटर
7. उत्तर: बर्तन की प्रारंभिक क्षमता 50 लीटर है।

Trick 3: लाभ-हानि और बेईमान दुकानदार में एलिगेशन

जब किसी व्यापारी के पास कुल स्टॉक हो और वह उसका एक हिस्सा लाभ पर तथा दूसरा हिस्सा हानि या अन्य लाभ पर बेचता है, तो एलिगेशन सबसे तेज परिणाम देता है।

हल किया गया उदाहरण 1:

प्रश्न: एक व्यापारी के पास 1000 किग्रा चीनी है। इसका एक भाग वह 8% लाभ पर तथा शेष भाग 18% लाभ पर बेचता है। उसे कुल मिलाकर 14% का समग्र लाभ होता है। 18% लाभ पर बेची गई चीनी की मात्रा कितनी है?

चरणबद्ध हल:

1. पहला भाग लाभ = +8%, दूसरा भाग लाभ = +18%
2. औसत लाभ = +14%
3. क्रॉस अंतर निकालें:
   - बायाँ अंतर = |18 - 14| = 4
   - दायाँ अंतर = |14 - 8| = 6
4. मात्राओं का अनुपात = 4 : 6 = 2 : 3
5. अनुपाती योग = 2 + 3 = 5 यूनिट
6. 5 यूनिट = 1000 किग्रा ⇒ 1 यूनिट = 200 किग्रा
7. 18% लाभ वाली मात्रा (3 यूनिट) = 3 × 200 = 600 किग्रा
8. उत्तर: 18% लाभ पर बेची गई चीनी 600 किग्रा है।

हल किया गया उदाहरण 2 (पानी मिलाकर क्रय मूल्य पर बेचना):

प्रश्न: एक बेईमान दूधवाला दूध को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन उसमें पानी मिलाकर 25% का लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात क्या है? (मान लें पानी निःशुल्क उपलब्ध है)

चरणबद्ध हल:

1. सुपर शॉर्टकट: जब भी क्रय मूल्य पर बेचने पर शुद्ध लाभ % दिया हो, तो अनुपात सीधे पानी : दूध = लाभ% : 100 होता है।
2. यहाँ लाभ = 25%
3. पानी : दूध = 25 : 100 = 1 : 4
4. यदि मिश्रण में पानी का प्रतिशत पूछा जाए = [1 / (1 + 4)] × 100 = 20%
5. उत्तर: पानी और दूध का अनुपात 1 : 4 है।

Trick 4: साधारण ब्याज, औसत और गति-दूरी में एलिगेशन

एलिगेशन अंकगणित के लगभग हर खंड में काम करता है। आइए देखें कि विविध अध्यायों में इसका प्रयोग कैसे होता है:

हल किया गया उदाहरण 1 (साधारण ब्याज):

प्रश्न: ₹10,000 की राशि का एक हिस्सा 8% वार्षिक तथा शेष 12% वार्षिक साधारण ब्याज पर उधार दिया गया। यदि एक वर्ष बाद कुल ब्याज ₹960 मिला, तो 8% पर दी गई राशि कितनी थी?

चरणबद्ध हल:

1. समग्र ब्याज दर (%) = (कुल ब्याज / कुल मूलधन) × 100 = (960 / 10000) × 100 = 9.6%
2. दर 1 = 8%, दर 2 = 12%, औसत दर = 9.6%
3. क्रॉस अंतर:
   - 12 - 9.6 = 2.4
   - 9.6 - 8 = 1.6
4. मूलधन का अनुपात = 2.4 : 1.6 = 3 : 2
5. अनुपाती योग = 3 + 2 = 5 यूनिट = ₹10,000 ⇒ 1 यूनिट = ₹2,000
6. 8% पर दी गई राशि = 3 × 2,000 = ₹6,000
7. उत्तर: 8% पर दी गई राशि ₹6,000 है।

हल किया गया उदाहरण 2 (कक्षा का औसत):

प्रश्न: एक कक्षा में सभी छात्रों का औसत प्राप्तांक 60 है। छात्रों (लड़कों) का औसत 65 और छात्राओं (लड़कियों) का औसत 52 है। यदि कक्षा में लड़कों की संख्या 32 है, तो लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. लड़के (Boys) = 65, लड़कियाँ (Girls) = 52, समग्र औसत = 60
2. क्रॉस अंतर:
   - लड़कियों के नीचे अंतर = 65 - 60 = 5
   - लड़कों के नीचे अंतर = 60 - 52 = 8
3. लड़के : लड़कियाँ = 8 : 5
4. लड़कों की संख्या = 8 यूनिट = 32 ⇒ 1 यूनिट = 4
5. लड़कियों की संख्या = 5 यूनिट = 5 × 4 = 20
6. उत्तर: कक्षा में लड़कियों की संख्या 20 है।

महत्वपूर्ण सूत्रों और ट्रिक्स का त्वरित सारांश

छात्रों द्वारा की जाने वाली 5 सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes to Avoid)

• 1. विक्रय मूल्य (SP) पर एलिगेशन लगाना: छात्र अक्सर दोनों वस्तुओं के क्रय मूल्य (CP) के साथ मिश्रण का विक्रय मूल्य मध्य में रख देते हैं। ध्यान रहे, तीनों मान एक ही प्रकृति के होने चाहिए — या तो तीनों CP हों या तीनों SP। यदि मिश्रण का SP और लाभ% दिया हो, तो पहले मिश्रण का CP निकालें: CP = SP × 100 / (100 + P%)।
• 2. हानि को धनात्मक लेना: लाभ और हानि के प्रश्नों में लाभ को धनात्मक (+ve) और हानि को अनिवार्य रूप से ऋणात्मक (-ve) चिह्न के साथ लिखें। उदाहरण के लिए, 10% लाभ और 5% हानि का अंतर |10 - (-5)| = 15 होगा, न कि 5।
• 3. सीधे-सीधे घटाना: एलिगेशन में अंतर हमेशा तिर्यक (Crosswise) निकाला जाता है, कभी भी आमने-सामने नहीं।
• 4. प्रतिस्थापन में घात (Power 'n') भूलना: कई छात्र केवल एक बार की प्रक्रिया का सूत्र लगाते हैं और 'n' बार दोहराए जाने पर घात लगाना भूल जाते हैं।
• 5. अनुपात के आधार की गलत पहचान: चाल के एलिगेशन से दूरी का अनुपात नहीं, बल्कि समय का अनुपात निकलता है। इसी तरह लाभ% के एलिगेशन से विक्रय मूल्य नहीं, क्रय मूल्य का अनुपात मिलता है।

परीक्षा में कैसे पूछा जाता है (PYQ Patterns)

• SSC CGL / CHSL: टीयर-1 में सीधे 2 वस्तुओं के मिश्रण या प्रतिस्थापन (Replacement) का प्रश्न आता है। टीयर-2 में 3 बर्तनों को भिन्न अनुपातों में मिलाकर नए अनुपात पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं।
• Banking (IBPS PO, SBI Clerk): डेटा इंटरप्रिटेशन (Caselet DI) में पूरा सेट एलिगेशन आधारित होता है। साझेदारी (Partnership) और लाभ-हानि आधारित वर्ड प्रॉब्लम्स में एलिगेशन का सर्वाधिक प्रयोग होता है।
• RRB NTPC / Group D: औसत मूल्य, दूध-पानी में मिलावट और साधारण ब्याज से जुड़े सीधे 1-स्टेप एलिगेशन प्रश्न पूछे जाते हैं।

स्व-मूल्यांकन हेतु अभ्यास प्रश्न (Practice Questions with Hints)

1. प्रश्न: ₹72 प्रति किग्रा और ₹90 प्रति किग्रा वाली दो दालों को किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण को ₹92.40 प्रति किग्रा में बेचने पर 10% का लाभ हो?
   (संकेत: पहले मिश्रण का CP निकालें = 92.40 / 1.1 = ₹84। उत्तर: 1 : 2)
2. प्रश्न: 40 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3:1 है। इसमें कितना पानी और मिलाया जाए कि अनुपात 1:3 हो जाए?
   (संकेत: दूध स्थिर है = 30 लीटर, पानी = 10 लीटर। नए अनुपात में 30 लीटर = 1 यूनिट, तो 3 यूनिट पानी = 90 लीटर। मिलाया गया पानी = 90 - 10 = 80 लीटर)
3. प्रश्न: एक बर्तन में 60 लीटर दूध है। 6 लीटर दूध निकालकर पानी डाला गया, फिर 6 लीटर मिश्रण निकालकर पानी डाला गया। शेष दूध की मात्रा क्या होगी?
   (संकेत: 60 × [1 - 6/60]² = 60 × 0.81 = 48.6 लीटर)