समय और कार्य तथा पाइप-टंकी की शॉर्टकट ट्रिक्स: SSC, रेलवे और बैंक हेतु संपूर्ण गाइड

परिचय: समय, कार्य और पाइप-टंकी का मूल दर्शन

प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC CGL/CHSL, RRB NTPC, IBPS PO/Clerk, BPSC एवं UPSC CSAT) के क्वांटिटेटिव एप्टीट्यूड खंड में समय और कार्य (Time & Work) तथा पाइप और टंकी (Pipes & Cisterns) सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक हैं। इन दोनों अध्यायों का गणितीय आधार बिल्कुल एक समान है। यदि आप पारंपरिक भिन्न विधि (Fraction Method, जैसे 1/x + 1/y) से सवाल हल करते हैं, तो गणना में अत्यधिक समय व्यर्थ होता है। आधुनिक प्रतियोगी परीक्षाओं में सफलता पाने के लिए ल.स.प. (LCM) विधि और कार्यक्षमता (Efficiency) पर आधारित अप्रोच अनिवार्य है।

कार्य और समय का मूल संबंध इस प्रकार है: कुल कार्य (Total Work) = समय (Time) × कार्यक्षमता (Efficiency)। यहाँ कार्यक्षमता का अर्थ है प्रति इकाई समय (प्रति दिन, प्रति घंटा या प्रति मिनट) में किया गया कार्य।

नियम 1: मूलभूत संबंध एवं LCM विधि (The LCM Method)

जब भी अलग-अलग व्यक्तियों द्वारा किसी काम को पूरा करने के दिन दिए गए हों, तो उन दिनों का ल.स.प. (LCM) निकालकर उसे ‘कुल कार्य’ (Total Units of Work) मान लिया जाता है। इसके बाद कुल कार्य को प्रत्येक व्यक्ति के दिनों से भाग देकर उनकी प्रति दिन की कार्यक्षमता (Efficiency) निकाली जाती है।

गोल्डन रूल: समय और कार्यक्षमता एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (Inversely Proportional) होते हैं। यदि दो व्यक्तियों की कार्यक्षमता का अनुपात A : B है, तो समान कार्य करने में उनके द्वारा लिए गए समय का अनुपात B : A होगा।

हल किया हुआ उदाहरण 1.1: बुनियादी LCM विधि

प्रश्न: A किसी कार्य को 12 दिनों में और B उसी कार्य को 18 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि वे दोनों एक साथ मिलकर कार्य करें, तो कार्य कितने दिनों में समाप्त होगा?

• चरण 1 (कुल कार्य): 12 और 18 का LCM = 36 इकाई (Units)। माना कुल कार्य = 36 यूनिट।
• चरण 2 (दैनिक कार्यक्षमता):
  • A की कार्यक्षमता = 36 ÷ 12 = 3 यूनिट/दिन
  • B की कार्यक्षमता = 36 ÷ 18 = 2 यूनिट/दिन
• चरण 3 (संयुक्त कार्यक्षमता): (A + B) का 1 दिन का कार्य = 3 + 2 = 5 यूनिट/दिन।
• चरण 4 (कुल समय): अभीष्ट समय = कुल कार्य ÷ संयुक्त कार्यक्षमता = 36 ÷ 5 = 7.2 दिन (या 7 पूर्णांक 1/5 दिन)।

हल किया हुआ उदाहरण 1.2: तीन व्यक्तियों का संयुक्त कार्य

प्रश्न: A, B और C किसी काम को क्रमशः 10, 15 और 30 दिनों में कर सकते हैं। तीनों मिलकर उस काम को कितने दिनों में समाप्त करेंगे?

• चरण 1: कुल कार्य = LCM(10, 15, 30) = 30 यूनिट।
• चरण 2: A की क्षमता = 30/10 = 3 यूनिट/दिन; B की क्षमता = 30/15 = 2 यूनिट/दिन; C की क्षमता = 30/30 = 1 यूनिट/दिन।
• चरण 3: तीनों की कुल क्षमता = 3 + 2 + 1 = 6 यूनिट/दिन।
• चरण 4: लिया गया समय = 30 ÷ 6 = 5 दिन।

नियम 2: काम छोड़कर जाने और बाद में जुड़ने वाले प्रश्न (Leaving & Joining Tricks)

परीक्षा में अक्सर ऐसा पूछा जाता है कि किसी व्यक्ति ने कार्य शुरू होने के कुछ दिन बाद काम छोड़ दिया, या कार्य समाप्त होने से कुछ दिन पहले छोड़ दिया। इसके लिए दो अचूक ट्रिक्स हैं:

• ट्रिक A (शुरुआत से काम छोड़ने पर): जो व्यक्ति शुरू में काम छोड़ता है, उसके द्वारा किए गए काम को ‘कुल कार्य’ में से घटा (Subtract) दें और उस व्यक्ति को हटा दें।
• ट्रिक B (समाप्ति से पहले काम छोड़ने पर): जो व्यक्ति कार्य समाप्ति से ‘x’ दिन पहले काम छोड़ता है, उससे जबरन ‘x’ दिन का काम करवाएँ और कुल कार्य में जोड़ (Add) दें, तथा उस व्यक्ति को प्रक्रिया में शामिल रखें।

हल किया हुआ उदाहरण 2.1: कार्य समाप्ति से पहले छोड़ना

प्रश्न: A और B एक काम को क्रमशः 20 और 30 दिनों में कर सकते हैं। दोनों ने एक साथ कार्य शुरू किया, किंतु कार्य समाप्त होने से 5 दिन पहले A ने काम छोड़ दिया। पूरा काम कितने दिनों में समाप्त हुआ?

• चरण 1: कुल कार्य = LCM(20, 30) = 60 यूनिट।
• चरण 2: A की क्षमता = 3 यूनिट/दिन, B की क्षमता = 2 यूनिट/दिन।
• चरण 3 (शॉर्टकट ट्रिक B): A कार्य समाप्त होने से 5 दिन पहले गया। अतः A के 5 दिनों का कार्य = 5 × 3 = 15 यूनिट कुल कार्य में जोड़ें।
  नया आभासी कुल कार्य = 60 + 15 = 75 यूनिट।
• चरण 4: अब दोनों (A + B) को अंत तक काम में माना जाएगा। संयुक्त क्षमता = 3 + 2 = 5 यूनिट/दिन।
• चरण 5: पूरा काम समाप्त होने में लगा समय = 75 ÷ 5 = 15 दिन।

नियम 3: एकांतर दिनों पर कार्य (Alternate Days Concept)

जब व्यक्ति बारी-बारी से (एकांतर क्रम में) काम करते हैं, तो हमेशा एक ‘चक्र’ (Cycle) बनाकर गणना करनी चाहिए। यदि दो व्यक्ति हैं, तो 1 चक्र = 2 दिन का होगा।

हल किया हुआ उदाहरण 3.1: एकांतर दिनों का प्रश्न

प्रश्न: A और B किसी कार्य को क्रमशः 12 और 16 दिनों में पूरा कर सकते हैं। यदि वे एकांतर दिनों पर कार्य करें और शुरुआत A करे, तो कार्य कितने दिनों में समाप्त होगा?

• चरण 1: कुल कार्य = LCM(12, 16) = 48 यूनिट।
• चरण 2: A की क्षमता = 4 यूनिट/दिन, B की क्षमता = 3 यूनिट/दिन।
• चरण 3 (चक्र की गणना): 1 चक्र (2 दिन) का कार्य = A का कार्य (दिन 1) + B का कार्य (दिन 2) = 4 + 3 = 7 यूनिट।
• चरण 4: 48 के निकटतम 7 का गुणज: 7 × 6 = 42 यूनिट।
  अतः 6 चक्र (अर्थात 6 × 2 = 12 दिन) में कार्य = 42 यूनिट।
• चरण 5 (शेष कार्य): शेष कार्य = 48 - 42 = 6 यूनिट।
  13वें दिन A कार्य करेगा: A की क्षमता = 4 यूनिट। 13वें दिन के अंत में शेष कार्य = 6 - 4 = 2 यूनिट।
  14वें दिन B की बारी है: B की क्षमता = 3 यूनिट/दिन। 2 यूनिट करने में समय = 2/3 दिन।
• चरण 6: कुल समय = 12 + 1 + 2/3 = 13 पूर्णांक 2/3 दिन (13.67 दिन)।

नियम 4: MDH सूत्र और समूह कार्य (Chain Rule)

जब कई पुरुष, महिलाएँ या बच्चे किसी कार्य को निश्चित घंटों में करते हैं, तो MDH सूत्र का उपयोग किया जाता है:

सूत्र: (M₁ × D₁ × H₁ × E₁) ÷ W₁ = (M₂ × D₂ × H₂ × E₂) ÷ W₂
जहाँ M = व्यक्तियों की संख्या, D = दिनों की संख्या, H = प्रतिदिन काम के घंटे, E = कार्यक्षमता, W = किया गया कुल कार्य या पारिश्रमिक।

हल किया हुआ उदाहरण 4.1: MDH का सीधा प्रयोग

प्रश्न: यदि 15 व्यक्ति 8 घंटे प्रतिदिन कार्य करके किसी काम को 21 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो 14 व्यक्ति 6 घंटे प्रतिदिन कार्य करके उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे?

• सूत्र: M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ (चूँकि कार्य W₁ = W₂ = 1)
• मान रखने पर: 15 × 21 × 8 = 14 × D₂ × 6
• हल: 2520 = 84 × D₂ ⇒ D₂ = 2520 ÷ 84 = 30 दिन।

नियम 5: पाइप और टंकी (Pipes and Cisterns) — ऋणात्मक कार्य की अवधारणा

पाइप और टंकी के प्रश्न ‘समय और कार्य’ के समान ही होते हैं, केवल एक मुख्य अंतर होता है: इनलेट (भरने वाला नल) धनात्मक कार्य (+ve work) करता है, जबकि आउटलेट या लीकेज (खाली करने वाला नल) ऋणात्मक कार्य (-ve work) करता है।

हल किया हुआ उदाहरण 5.1: भरने और खाली करने वाले पाइप

प्रश्न: पाइप A एक टंकी को 10 घंटे में भर सकता है और पाइप B उसे 15 घंटे में भर सकता है। एक तीसरा पाइप C भरी हुई टंकी को 20 घंटे में खाली कर सकता है। यदि तीनों पाइप एक साथ खोल दिए जाएँ, तो खाली टंकी कितने समय में भरेगी?

• चरण 1: टंकी की कुल धारिता (Capacity) = LCM(10, 15, 20) = 60 यूनिट।
• चरण 2: दक्षताओं का निर्धारण:
  पाइप A = +60/10 = +6 यूनिट/घंटा
  पाइप B = +60/15 = +4 यूनिट/घंटा
  पाइप C = -60/20 = -3 यूनिट/घंटा (खाली करने के कारण ऋणात्मक)
• चरण 3: तीनों की संयुक्त दक्षता = +6 + 4 - 3 = +7 यूनिट/घंटा।
• चरण 4: टंकी भरने में लगा कुल समय = 60 ÷ 7 = 8 पूर्णांक 4/7 घंटे (8.57 घंटे)।

हल किया हुआ उदाहरण 5.2: रिसाव (Leakage) वाला विशेष प्रश्न

प्रश्न: एक नल किसी टंकी को 8 घंटे में भर सकता है, परंतु तली में छेद होने के कारण इसे भरने में 2 घंटे अधिक लगते हैं। यदि टंकी पूरी भरी हो, तो वह छेद अकेले टंकी को कितने समय में खाली कर देगा?

• चरण 1: भरने वाले नल (A) का समय = 8 घंटे।
  नल और छेद (A - L) का संयुक्त समय = 8 + 2 = 10 घंटे।
• चरण 2: टंकी की क्षमता = LCM(8, 10) = 40 यूनिट।
• चरण 3: नल A की क्षमता = 40/8 = +5 यूनिट/घंटा।
  (A - L) की क्षमता = 40/10 = +4 यूनिट/घंटा।
• चरण 4: रिसाव (L) की क्षमता = A - (A - L) = 5 - 4 = 1 यूनिट/घंटा खाली करना।
• चरण 5: पूरी भरी टंकी खाली करने का समय = 40 ÷ 1 = 40 घंटे।

नियम 6: मजदूरी का बँटवारा (Work and Wages)

मजदूरी या पारिश्रमिक हमेशा किए गए कुल कार्य के अनुपात में बँटता है। यदि सभी व्यक्ति समान समय तक साथ काम करते हैं, तो मजदूरी सीधे उनकी कार्यक्षमता (Efficiency) के अनुपात में बाँटी जाती है।

हल किया हुआ उदाहरण 6.1: मजदूरी का विभाजन

प्रश्न: A और B किसी कार्य को क्रमशः 15 और 10 दिनों में समाप्त कर सकते हैं। उन्होंने एक साथ कार्य पूरा किया और उन्हें कुल ₹3,000 प्राप्त हुए। A का हिस्सा कितना है?

• चरण 1: कुल कार्य = LCM(15, 10) = 30 यूनिट।
• चरण 2: A की क्षमता = 2 यूनिट/दिन; B की क्षमता = 3 यूनिट/दिन।
• चरण 3: चूँकि दोनों ने शुरू से अंत तक साथ काम किया, मजदूरी क्षमता के अनुपात (2 : 3) में बँटेगी।
• चरण 4: कुल अनुपात = 2 + 3 = 5 भाग = ₹3,000 ⇒ 1 भाग = ₹600।
  A का हिस्सा = 2 × 600 = ₹1,200 (और B का हिस्सा = ₹1,800)।

त्वरित संदर्भ तालिका: ट्रिक्स और सूत्रों का सारांश

छात्रों द्वारा की जाने वाली 5 सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

• गलती 1: मजदूरी को दिनों के अनुपात में बाँटना: कई छात्र दिनों के अनुपात में पैसा बाँट देते हैं। ध्यान रखें, कम दिन लेने वाला व्यक्ति अधिक कुशल होता है, उसे अधिक पैसा मिलना चाहिए! मजदूरी क्षमता के अनुसार बँटती है।
• गलती 2: एकांतर दिनों में चक्र के अंत में गलती: एकांतर प्रश्नों में जब अंतिम कुछ यूनिट कार्य बचता है, तो पूरा दिन न जोड़कर केवल (शेष कार्य ÷ उस दिन कार्य करने वाले की क्षमता) जोड़ना चाहिए।
• गलती 3: रिसाव को धनात्मक मान लेना: पाइप-टंकी प्रश्नों में खाली करने वाले नल की दक्षता हमेशा घटाएँ (-ve लें), जोड़ें नहीं।
• गलती 4: कार्य समाप्ति से पूर्व छोड़ने पर घटाना: यदि कोई काम पूरा होने से 3 दिन पहले छोड़ता है, तो उसका काम घटाने के बजाय जोड़ना सबसे सरल ट्रिक है।
• गलती 5: इकाई (Units) का ध्यान न रखना: एक नल का समय घंटों में और दूसरे का मिनटों में दिया हो, तो पहले दोनों को एक ही इकाई में बदलें।

परीक्षा में कैसे पूछा जाता है? (PYQ Trends & Patterns)

विभिन्न आयोगों के प्रश्नों का विश्लेषण करने पर निम्नलिखित पैटर्न सामने आते हैं:

• SSC CGL & CHSL: टीयर-1 में 1-2 प्रश्न सीधे LCM या काम छोड़ने वाले पैटर्न से पूछे जाते हैं। टीयर-2 में एकांतर दिन, महिला-पुरुष दक्षता तुलना और टंकी में परिवर्तनशील व्यास (Diameter-based flow rate) वाले प्रश्न अधिक आते हैं।
• रेलवे (RRB NTPC & Group D): सीधे सूत्र आधारित MDH प्रश्न और बुनियादी इनलेट-आउटलेट प्रश्न प्रमुखता से पूछे जाते हैं।
• बैंकिंग (IBPS / SBI PO & Clerk): केसलेट डीआई (Caselet DI) और डाटा सफिशिएंसी (Data Sufficiency) में टाइम एंड वर्क के चर (Variables जैसे x, x+4 दिन) वाले प्रश्न पूछे जाते हैं।
• UPSC CSAT / BPSC: तार्किक समझ वाले प्रश्न, जैसे ‘यदि 4 पुरुष या 6 महिलाएँ किसी काम को 20 दिनों में करते हैं...’ अधिक आते हैं।

अभ्यास प्रश्न (स्वयं हल करें)

1. A किसी काम को 24 दिनों में और B उसे 32 दिनों में पूरा करता है। दोनों ने एक साथ कार्य शुरू किया, लेकिन काम खत्म होने से 4 दिन पहले B ने काम छोड़ दिया। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा हुआ? (उत्तर: 16 दिन)
2. नल P एक टंकी को 12 मिनट में भर सकता है और नल Q उसे 15 मिनट में भर सकता है। दोनों 3 मिनट तक खुले रहते हैं, फिर P को बंद कर दिया जाता है। Q शेष टंकी को कितने समय में भरेगा? (उत्तर: 8.25 मिनट या 8 मिनट 15 सेकंड)